Пункт а)

$$f(x)=3x-x^3$$

$$f(-x)=-3x+x^3=-(3x-x^3)=-f(x)$$

Значит, $f(x)$ — нечетная функция.

Пункт б)

$$f(x)=\sqrt[3]{(1-x{)}^2}+\sqrt[3]{(1+x{)}^2}$$

$$\begin{gathered} f(-x)=\sqrt[3]{(1-(-x){)}^2}+\sqrt[3]{(1+(-x){)}^2}= \\ =\sqrt[3]{(1+x{)}^2}+\sqrt[3]{(1-x{)}^2}=f(x) \end{gathered}$$

Значит, $f(x)$ — четная функция.

Пункт в)

$$f(x)=a^x+a^{-x}(a>0)$$

$$f(-x)=a^{-x}+a^{-(-x)}=a^x+a^{-x}=f(x)$$

Значит, $f(x)$ — четная функция.

Пункт г)

$$f(x)=\ln \frac{1-x}{1+x}$$

$$\begin{gathered} f(-x)=\ln \frac{1-(-x)}{1+(-x)}=\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln {\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{-1}= \\ =-\ln \frac{1-x}{1+x}=-f(x) \end{gathered}$$

Значит, $f(x)$ — нечетная функция.

Пункт д)

$$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

$$\begin{gathered} f(-x)=\ln (-x+\sqrt{1+(-1{)}^2{x}^2})= \\ =\ln \left[\frac{(-x+\sqrt{1+x^2})(-x-\sqrt{1+x^2})}{-x-\sqrt{1+x^2}}\right]= \\ =\ln \left(\frac{x^2-1-x^2}{-x-\sqrt{1+x^2}}\right)=\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\right)= \\ =\ln (x+\sqrt{1+x^2}{)}^{-1}=-\ln (x^2+\sqrt{1+x^2})=-f(x) \end{gathered}$$

Значит, $f(x)$ — нечетная функция.