Итак, имеем произвольную функцию $f(x)$, которая определена в симметричном интервале $(-l,l)$.

Необходимо заметить, что функция:

$$f(x)+f(-x)$$

является четной, а функция:

$$f(x)-f(-x)$$

является нечетной.

Попробуем сложить эти две функции:

$$[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)]=2f(x)$$

Поделим обе части равенства на $2$:

$$\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x)$$

Вот мы и доказали, что любая функция $f(x)$ на интервале $(-l,l)$ может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций.