Обозначим произвольное рациональное число за $q$. Докажем, что $q$ — период функции Дирихле, то есть для любого вещественного $x$ выполняется:

$$f(x\pm q)=f(x)$$

Пусть $x$ — рациональное число. Тогда $x\pm q$ тоже является рациональным числом, а значит:

$$f(x\pm q)=f(x)=1$$

Пусть $x$ — иррациональное число. Докажем, сумма/разность иррационального числа $x$ и рационального $q$ является иррациональным числом. Докажем от противного. Пусть $x\pm q$ — рациональное число. По определению рационального числа:

$$x\pm q=\frac{m}{n}(m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N})$$

Тогда:

$$x=\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{\frac{m}{n}\mp q}}$$

Получаем, что $x$ — рациональное число. Но этого не может быть, ведь $x$ — иррациональное. Получили противоречие.

Значит, сумма/разность иррационального и рационального чисел есть число иррациональное. То есть:

$$f(x\pm q)=f(x)=0$$

Итак, мы доказали, что для любого вещественного $x$ выполняется:

$$f(x\pm q)=f(x)$$

Это означает, что любое рациональное число является периодом функции Дирихле.

$■$