Периодическая функция

Функция $f(x)$, определенная на множестве $E$, называется периодической, если существует число $T>0$ (период функции — в широком смысле слова!) такое, что

$$f(x\pm T)=f(x)\text{ при }x\in E$$

Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:

$$\begin{array}{rlrl}& \text{а) }f(x)=A\cos \lambda x+B\sin \lambda x;& & \\ & \text{б) }f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x;& & \\ & \text{в) }f(x)=2\mathrm{tg}\frac{x}{2}-3\mathrm{tg}\frac{x}{3};& & \text{г) }f(x)={\sin }^{2}x;\\ & \text{д) }f(x)=\sin x^2;& & \text{е) }f(x)=\sqrt{\mathrm{tg}x};\\ & \text{ж) }f(x)=\mathrm{tg}\sqrt{x};& & \text{з) }f(x)=\sin x+\sin (x\sqrt{2})\end{array}$$

Доказать, что для функции Дирихле

$$\chi (x)=\{\begin{array}{l}1,\text{ если }x\text{ рационально,}\\ 0,\text{ если }x\text{ иррационально}\end{array}$$

периодом является любое рациональное число.

1. Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.
2. Функция $f(x)$ называется антипериодической, если

$$f(x+T)\equiv -f(x)(T>0)$$

Доказать, что $f(x)$ — периодическая функция с периодом $2T$.

Доказать, что если для функции $f(x)(-\infty <x<+\infty )$ выполнено равенство $f(x+T)=kf(x)$, где $k$ и $T$ — положительные постоянные, то $f(x)=a^x\varphi (x)$, где $a$ — постоянная, а $\varphi (x)$ — периодическая функция с периодом $T$.