Демидович
234

Доказать, что для функции Дирихле

периодом является любое рациональное число.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Докажите от противного, что сумма/разность иррационального и рационального чисел есть число иррациональное.

Решение

Обозначим произвольное рациональное число за . Докажем, что — период функции Дирихле, то есть для любого вещественного выполняется:

Пусть — рациональное число. Тогда тоже является рациональным числом, а значит:

Пусть — иррациональное число. Докажем, сумма/разность иррационального числа и рационального является иррациональным числом. Докажем от противного. Пусть — рациональное число. По определению рационального числа:

Тогда:

Получаем, что — рациональное число. Но этого не может быть, ведь — иррациональное. Получили противоречие.

Значит, сумма/разность иррационального и рационального чисел есть число иррациональное. То есть:

Итак, мы доказали, что для любого вещественного выполняется:

Это означает, что любое рациональное число является периодом функции Дирихле.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!