Задача 236 — Демидович

Доказать, что если для функции $f (x) (- \infty < x < + \infty)$ выполнено равенство $f (x + T) = k f (x)$ , где $k$ и $T$ — положительные постоянные, то $f (x) = a^{x} ϕ (x)$ , где $a$ — постоянная, а $ϕ (x)$ — периодическая функция с периодом $T$ .

Петр Радько

Указание

Докажите, что

$f (x - T) = \frac{1}{k} f (x)$

Задайте постоянной $a$ следующее значение:

$a = k^{\frac{1}{T}}$

Выразите $ϕ (x)$ из условия и докажите, что эта функция периодическая.

Решение

По условию:

$f (x + T) = k f (x)$

Докажем, что выполняется также и следующее:

$f (x - T) = \frac{1}{k} f (x)$

Действительно:

$f (x - T + T) = {= k f (x - T) = f (x)$

Получаем, что

$k f (x - T) = f (x)$

Откуда

$f (x - T) = \frac{1}{k} f (x)$

Это при условии, что $f (x)$ определена в точке $x - T$ , но она там точно определена, так как $f (x)$ определена на всей числовой прямой по условию.

Раз $k$ и $T$ — постоянные, то можно ввести следующее значение для $a$ :

$a = k^{\frac{1}{T}}$

Выразим $k$ :

$k = a^{T}$

Итак:

$f (x + T) = a^{T} f (x) f (x - T) = a^{- T} f (x)$

Определим функцию $ϕ (x)$ следующим образом:

$ϕ (x) = a^{- x} f (x)$

Докажем, что $ϕ (x)$ имеет период, равный $T$ :

$ϕ (x + T) = a^{- (x + T)} f (x + T) = a^{- x} a^{- T} a^{T} f (x) = a^{- x} f (x) = ϕ (x)$

$ϕ (x - T) = a^{- (x - T)} f (x + T) = a^{- x} a^{T} a^{- T} f (x) = a^{- x} f (x) = ϕ (x)$

Мы доказали, что $ϕ (x)$ имеет период, равный $T$ . Выразим тогда из ее определения функцию $f (x)$ :

$ϕ (x) = a^{- x} f (x)$

$f (x) = a^{x} ϕ (x)$

Итак, мы доказали, что функция $f (x)$ может быть представлена в виде $a^{x} ϕ (x)$ , где $a$ — постоянная и $ϕ (x)$ — периодическая функция.

$■$

235 381