Прибавим к обеим частям неравенства $|x|$:

$$|x+2|>1+|x|$$

Разложим это неравенство на два по прото-задаче П-ссылка:

$$|x+2|>1+|x|\iff [\begin{array}{l}x+2>1+|x|\\ x+2<-1-|x|\end{array}$$

Рассмотрим оба получившихся справа неравенства по отдельности.

Первое неравенство

$$\begin{gathered} x+2>1+|x| \\ |x|<x+1 \end{gathered}$$

Разложим это неравенство по прото-задаче П-ссылка:

$$|x|<x+1\iff \{\begin{array}{l}x<x+1\\ x>-x-1\end{array}$$

Из первого неравенства полезной информации не извлечь:

$$\begin{gathered} x<x+1 \\ 0<1 \end{gathered}$$

Из второго:

$$\begin{gathered} x>-x-1 \\ 2x>-1 \end{gathered}$$

$$x>-\frac{1}{2}$$

Второе неравенство

$$\begin{array}{rl}x+2& <-1-|x|\\ x+3& <-|x|\\ |x|& <-x-3\end{array}$$

Разложим последнее неравенство по прото-задаче П-ссылка:

$$|x|<-x-3\iff \{\begin{array}{l}x<-x-3\\ x>x+3\end{array}$$

Из второго неравенства, вычитая $x$ из обеих частей получаем противоречие: $$0>3$$

Поэтому, можно даже не рассматривать первое неравенство из разложения.

Итак, из двух неравенств, полученных в начале решения:

$$|x+2|>1+|x|\iff [\begin{array}{l}x+2>1+|x|\\ x+2<-1-|x|\end{array}$$

имеет смысл только первое, которое, как мы показали выше, сводится к

$$x>-\frac{1}{2}$$