Задача 30 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Доказать тождество

$(\frac{x + ∣ x ∣}{2})^{2} + (\frac{x - ∣ x ∣}{2})^{2} = x^{2}$

Указание

Напрямую возведите скобки в квадрат. Воспользуйтесь свойством $∣ f ∣^{2} = f^{2}$ (см. прото-задачу П-ссылка).

Решение

Распишем подробно результат возведения дробей в квадрат, пользуясь свойством модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

$(\frac{x + ∣ x ∣}{2})^{2} + (\frac{x - ∣ x ∣}{2})^{2} = \frac{x ^{2} + 2 x ∣ x ∣ + x ^{2} + x ^{2} - 2 x ∣ x ∣ + x ^{2}}{4}$

$\frac{x ^{2} + 2 x ∣ x ∣ + x ^{2} + x ^{2} - 2 x ∣ x ∣ + x ^{2}}{4} = \frac{4 x ^{2}}{4} = x^{2}$

Итак, мы доказали, что

$(\frac{x + ∣ x ∣}{2})^{2} + (\frac{x - ∣ x ∣}{2})^{2} = x^{2}$

$■$

Зависимости