Распишем подробно результат возведения дробей в квадрат, пользуясь свойством модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

$${\left(\frac{x+|x|}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x-|x|}{2}\right)}^2=\frac{x^2+2x|x|+x^2+x^2-2x|x|+x^2}{4}$$

$$\frac{x^2+2x|x|+x^2+x^2-2x|x|+x^2}{4}=\frac{4x^2}{4}=x^2$$

Итак, мы доказали, что

$${\left(\frac{x+|x|}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x-|x|}{2}\right)}^2=x^2$$

$■$