Задача 37 — Демидович

I§1Абсолютная и относительная погрешность

└─

Главная

└─

Задачи

└─

I. Введение в анализ

└─

§1. Вещественные числа

└─

Абсолютная и относительная погрешность

└─

Задача 37

Нормальная

Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:

$x = 24.7 м \pm 0.2 м, y = 6.5 м \pm 0.1 м, z = 1.2 м \pm 0.1 м .$

В каких границах заключается объем $V$ этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями может быть определен объем этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?

Ответ

Объем $V$ лежит в границах

$172.48 \leq V \leq 213.642$

Абсолютная погрешность

$Δ \leq 20.982$

Относительная погрешность

$δ \leq 10.89%$

Петр Радько

Указание

Составив цепные неравенства, выясните, в каких границах лежат переменные $x$ , $y$ , $z$ и объем $V$ (их произведение).

Затем вычислите объем с помощью средних значений из условия.

Вычислите две оценки абсолютных погрешностей (из левой и правой границ) и в качестве основной оценки выберите наибольшую.

Через наибольшую абсолютную погрешность вычислите оценку относительной погрешности.

Решение

Выясним, в каких границах лежит $x$ :

$24.5 \leq x \leq 24.9$

Выясним, в каких границах лежит $y$ :

$6.4 \leq y \leq 6.6$

Выясним, в каких границах лежит $z$ :

$1.1 \leq z \leq 1.3$

Умножим эти неравенства друг на друга:

$172.48 \leq V = x yz \leq 213.642$

Найдем объем параллелепипеда, используя средние значения:

$24.7 \cdot 6.5 \cdot 1.2 = 192.66$

Итак,

$172.48 \leq 192.66 \leq 213.642$

Из неравенства выше мы можем найти верхние границы для абсолютной погрешности:

$Δ_{1} = 192.66 - 172.48 Δ_{2} = 213.642 - 192.66 = 20.18 = 20.982$

Видим, что $Δ_{2} > Δ_{1}$ , поэтому реальная абсолютная погрешность будет не больше $Δ_{2}$ (худшего варианта):

$Δ \leq Δ_{2} = 20.982$

Теперь найдем верхнюю границу относительной погрешности:

$δ = \frac{Δ}{192.66} \leq \frac{Δ _{2}}{192.66} \approx 0.1089 = 10.89%$

$δ \leq 10.89%$

Итак, объем $V$ лежит в границах

$172.48 \leq V \leq 213.642$

Абсолютная погрешность

$Δ \leq 20.982$

Относительная погрешность

$δ \leq 10.89%$

36 38