Выполненное измерение стороны $x$ квадрата с погрешностью ${\Delta }_x$ будет колебаться в пределах:

$$x-{\Delta }_x\le x\le x+{\Delta }_x$$

Умножим это неравенство само на себя:

$$x^2-(2x{\Delta }_x-{\Delta }_x^2)\le S=x^2\le x^2+2x{\Delta }_x+{\Delta }_x^2$$

В неравенстве выше видем две возможные оценки для абсолютной погрешности площади ${\Delta }_S$:

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_S& \le 2x{\Delta }_x-{\Delta }_x^2\\ {\Delta }_S& \le {\Delta }_x^2+2x{\Delta }_x\end{array}$$

Вторая оценка, очевидно, покрывает первую (потому что она больше), поэтому ей и будем пользоваться:

$${\Delta }_S\le {\Delta }_x^2+2x{\Delta }_x$$

По условию требуется, чтобы абсолютная погрешность площади ${\Delta }_S$ была меньше $0.001$:

$${\Delta }_S\le {\Delta }_x^2+2x{\Delta }_x<0.001$$

$${\Delta }_x^2+2x{\Delta }_x<0.001$$

Из условия нам известно, что $x<3$. Умножим обе части на $2{\Delta }_x$:

$$2x{\Delta }_x<6{\Delta }_x$$

Добавим к обеим частям ${\Delta }_x^2$:

$${\Delta }_x^2+2x{\Delta }_x<{\Delta }_x^2+6{\Delta }_x<0.001$$

Если мы найдем такое ${\Delta }_x$, что

$${\Delta }_x^2+6{\Delta }_x<0.001,$$

то автоматом (по цепному неравенству) будет выполнятся и нужное нам неравенство

$${\Delta }_x^2+2x{\Delta }_x<0.001$$

Итак, разбираемся с неравенством

$${\Delta }_x^2+6{\Delta }_x<0.001$$

$${\Delta }_x^2+6{\Delta }_x-0.001<0$$

Найдем корень из дискриминанта этого квадратного уравнения:

$$\sqrt{D}=\sqrt{36+0.004}\approx 6.00033$$

Найдем корни:

$${\Delta }_{x1}=\frac{-6+6.00033}{2}=0.000165\approx 0.00017$$

$${\Delta }_{x2}=\frac{-6-6.00033}{2}=-6,000165‬$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то область меньше $0$ будет находится между ее корнями, то есть

$${\Delta }_x\le 0.00017$$

---

Итак, чтобы определить площадь квадрата с точностью до $0.001{\text{ м}}^2$ надо измерить сторону $x$ квадрата с точностью до $0.17\text{ мм}$.

$${\Delta }_x\le 0.17\text{ мм}$$