Демидович
391

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Верхняя грань

Покажите, что при возрастании функция уходит в , то есть является неограниченной.

Нижняя грань

Изучите поведение функции при очень маленьких и очень больших . Ищите нижнюю грань при небольших .

Решение

Верхняя грань

Легко видеть, что при увеличении уходит в . Докажем это.

Пускай ограничена сверху некоторым числом . Но тогда нам достаточно взять и получаем:

Получили противоречие. Посколько подобное можно проделать для любой наперед заданной верхней границы, получаем, что у ее просто нет. По определению это означает, что точной верхней гранью является .

Нижняя грань

Нужно заметить, что интересно себя ведет. При больших большую роль в значение функции вкладывает левое слагаемое, а правое можно чуть ли не игнорировать. Но это работает и в обратную сторону. При маленьких уже левым слагаемым можно пренебречь, наибольший вклад дает правое.

Итак, быстро уходит в как при маленьких, так и при больших . Значит, минимум стоит искать где-то посередине. Отличный вариант получаем при . Тогда .

Докажем, что это и есть нижняя граница :

Итак, действительно нижняя граница . Но она же является и точной нижней границей. Пусть это не так и есть еще одна нижняя граница, которая больше . Но тогда оказывается ниже этой границы, чего по определению не может быть. Значит, не существует нижних границ больше .

Получается, что — точная нижняя грань .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!