Нижняя грань

Сразу замечаем, что $f(x)$ при любых положительных $x$ больше $0$. Значит, $0$ является нижней границей $f(x)$. Докажем, что он является точной нижней гранью $f(x)$.

По условию мы не можем просто взять $x=0$. Но никто не мешает нам стремиться к $0$. Рассмотрим следующую последовательность $x$-ов:

$$x_n=\frac{1}{n}$$

Любой член этой последовательности находится в интервале $(0,+\infty )$ из условия. Эта последовательность порождает последовательность значений функции $f(x_n)$:

$$y_n=f(x_n)=\frac{2\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}$$

Найдем предел этой последовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }2\frac{1}{n}}{\underset{n\to \infty }{\lim }1+\frac{1}{n^2}}=\frac{2\cdot 0}{1+0}=0$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ являются элементарными последовательностями (см. прото-задачу П-ссылка).

По определению это означает, что какую окрестность $0$ не возьми, в ней всегда будет находится бесконечное число значений функции. Значит, не может существовать никакой нижней границы, большей $0$, ведь тогда между ней и $0$ окажется бесконечно много значений функции.

Значит $0$ — точная нижняя грань $f(x)$.

$■$

Верхняя грань

Найдем, при каких $x$ дробь в $f(x)$ окажется правильной, то есть:

$$\begin{gathered} f(x)\le 1 \\ \frac{2x}{1+x^2}\le 1 \\ 2x\le 1+x^2 \\ {x}^2-2x+1\ge 0 \\ (x-1{)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

Итак, дробь в $f(x)$ всегда правильная, но важно то, что мы показали, что $f(x)\le 1$. Значит $1$ — верхняя граница $f(x)$. Более того, никакой более маленькой верхней границы быть не может, ведь если бы она была, то $f(1)=1$ оказалось бы больше нее.

Поэтому $1$ — точная верхняя грань $f(x)$.