Демидович
394

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П.2 и через преобразование неравенств найдите нижнюю и верхнюю границы.

Докажите от противного, что найденные границы являются точными гранями.

Решение

Из прото-задачи П.2 мы знаем, что показательная функция с основанием монотонно возрастает на всей своей области определения.

По условию лежит в следующем интервале:

Представим все части неравенства в виде показателей степени с основанием :

Итак, имеем отличных кандидатов в точные нижнюю и верхнюю грани.


Докажем, что — точная верхняя грань. Доказательство для нижней грани аналогичное.

Доказывать будем от противного. Пусть это не так и существует какое-то число , которое является верхней границей .

Рассмотрим следующую последовательность -ов:

Каждый член принадлежит интервалу из условия. Покажем, что найдется такое натуральное , что

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию :

Итак, нам достаточно взять любое натуральное число, которое удовлетворяет неравенству выше, и тогда значение функции окажется больше . Получается, что не является верхней границей . Такие рассуждения можно провести для любой "верхней границы", которая меньше .

Это означает, что — точная верхняя грань .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Монотонность показательной функции
Показательная функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .