Из прото-задачи П-ссылка мы знаем, что показательная функция с основанием $2$ монотонно возрастает на всей своей области определения.

По условию $x$ лежит в следующем интервале:

$$-1<x<2$$

Представим все части неравенства в виде показателей степени с основанием $2$:

$$2^{-1}<2^x<2^2$$

$$\frac{1}{2}<f(x)<4$$

Итак, имеем отличных кандидатов в точные нижнюю и верхнюю грани.

Докажем, что $4$ — точная верхняя грань. Доказательство для нижней грани аналогичное.

Доказывать будем от противного. Пусть это не так и существует какое-то число $M^{\prime }<4$, которое является верхней границей $f(x)$.

Рассмотрим следующую последовательность $x$-ов:

$$x_n=2-\frac{1}{n}$$

Каждый член $x_n$ принадлежит интервалу $(-1,2)$ из условия. Покажем, что найдется такое натуральное $n^{\prime }$, что

$$f(x_{n^{\prime }})>M^{\prime }$$

$$\begin{gathered} 2^{2-\frac{1}{n^{\prime }}}>M^{\prime } \\ \frac{4}{2^{\frac{1}{n^{\prime }}}}>M^{\prime } \\ {2}^{\frac{1}{n^{\prime }}}<\frac{4}{M^{\prime }} \end{gathered}$$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию $2$:

$$\frac{1}{n^{\prime }}<{\log }_2\frac{4}{M^{\prime }}$$

$$n^{\prime }>\frac{1}{{\log }_2\frac{4}{M^{\prime }}}$$

Итак, нам достаточно взять любое натуральное число, которое удовлетворяет неравенству выше, и тогда значение функции окажется больше $M^{\prime }$. Получается, что $M^{\prime }$ не является верхней границей $f(x)$. Такие рассуждения можно провести для любой «верхней границы», которая меньше $4$.

Это означает, что $4$ — точная верхняя грань $f(x)$.

$■$