Нам известно, что значения функции арктангенса находятся в промежутке $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, так как в этом интервале лежит область определения тангенса. Получается, что нижней гранью арктангенса является $-\frac{\pi }{2}$, а верхней $\frac{\pi }{2}$ (доказать?).

В обычном арктангенсе нижняя его грань достигается при стремлении арумента к $-\infty$, а верхняя при стемлении к $+\infty$. Но по условию у нас не обычный арктангенс от $x$, а от $\frac{1}{x}$. В этом случае $-\infty$ в аргументе получаем при стремлении $x$ к нулю слева и $+\infty$ при стремлении $x$ к нулю справа.

Это означает (доказать), что

$$\underset{x\to -0}{\lim }\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}\underset{x\to +0}{\lim }\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$

Итак, "в нуле" у нас одновременно находятся верхняя и нижняя точные грани функции. Поэтому в любом промежутке, который включает $x=0$ колебание функции $f(x)$ будет равно

$$\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\pi$$

Итак, колебание функции в пунктах а), б), в) и г) равно $\pi$.