Задача 397 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

I§5Ограниченная функция

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Определить колебание функции $f (x) = x^{2}$ на интервалах:

$а) (1; 3); б) (1.9; 2.1); в) (1.99; 2.01); г) (1.999; 2.001)$

Ответ

Пункт а)

$8$

Пункт б)

$0.8$

Пункт в)

$0.08$

Пункт г)

$0.008$

Петр Радько

Указание

Покажите, что функция $f (x)$ на интервале $(a, b)$ при положительных $a$ и $b$ имеет следующие грани:

$m_{0} = a^{2} M_{0} = b^{2}$

Для доказательства точных граней постройте последовательность $x$ -ов, которая стремится к $a$ (к $b$ ).

Для расчета колебания воспользуйтесь формулой разности квадратов.

Решение

Пункт а) + общий подход

На примере интервала $(1, 3)$ покажем, что $m_{0} = 1^{2}$ , а $M_{0} = 3^{2}$ .

Для начала покажем, что $1$ является нижней границей $f (x)$ . По условию:

$1 < x < 3$

Возводим все части неравенства в квадрат:

$1 < x^{2} < 9$

Для любого $x$ получаем, что $f (x) > 1$ . Это по определению означает, что $1$ — нижняя граница $f (x)$ .

Теперь докажем, что она является точной нижней гранью. Для этого рассмотрим следующую последовательность $x$ -ов:

$x_{n} = 1 + \frac{1}{n}$

Каждый член этой последовательности попадает в рассматриваемый интервал $(1, 3)$ . Эта последовательность также образует последовательность значений функции:

$y_{n} = f (x_{n}) = x_{n}^{2} = (1 + \frac{1}{n})^{2}$

Найдем предел этой последовательности:

$n \to \infty lim y_{n} = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{2} = (1 + n \to \infty lim \frac{1}{n}) (1 + n \to \infty lim \frac{1}{n}) = = (1 + 0) (1 + 0) = 1$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{1}{n} \to 0$ . Это элементарный предел (см. прото-задачу П-ссылка).

По определению это означает, что какое-бы число $ε > 0$ мы не взяли, всегда найдется бесконечно много значений функции, которые лежат в интервале $(1, 1 + ε)$ . Это значит, что не существует нижней границы, которая была бы больше $1$ . То есть, $1$ — точная нижняя грань функции $f (x)$ .

Аналогичным образом доказывается, что $M_{0} = 3^{2} = 9$ . Точно такие же рассуждения можно провести и для пунктов б), в) и г).

Итак, для интервала $(1, 3)$ имеем:

$m_{0} = 1^{2} M_{0} = 3^{2}$

По определению колебание функции равно:

$M_{0} - m_{0} = 3^{2} - 1^{2} = (3 - 1) (3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8$

Пункт б)

$M_{0} - m_{0} = (2 + 0.1)^{2} - (2 - 0.1)^{2} = = (2 + 0.1 - 2 + 0.1) (2 + 0.1 + 2 - 0.1) = 0.2 \cdot 4 = 0.8$

Пункт в)

$M_{0} - m_{0} = (2 + 0.01)^{2} - (2 - 0.01)^{2} = \dots = 0.02 \cdot 4 = 0.08$

Пункт г)

$M_{0} - m_{0} = (2 + 0.001)^{2} - (2 - 0.001)^{2} = \dots = 0.002 \cdot 4 = 0.008$

Зависимости

Элементарные пределы последовательностей

Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.

396 398