Так как $1=2^0$ и $2=2^1$, то доказать нужно следующее равенство:

$$2^0+2^1+2^2+\dots +2^{n-1}=2^n-1$$

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть $n=1$. Получаем:

$$2^{1-1}=2^0=12^1-1=1$$

Индукционный переход

Предположим, что равенство выполняется для натурального числа $k$, то есть для суммы первых $k-1$ натуральных степеней числа $2$:

$$2^0+2^1+2^2+\dots +2^{k-1}=2^k-1$$

К обеим частям равенства прибавляем $2^k$:

$$2^0+2^1+2^2+\dots +2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k$$

Преобразуем правую часть:

$$2^k+2^k-1=2\cdot 2^k-1=2^{k+1}-1$$

С учетом обновленной правой части получаем следующее равенство:

$$2^0+2^1+2^2+\dots +2^{k-1}+2^k=2^{k+1}-1$$

Итак, мы из равенства для $k$ вывели равенство для $k+1$. Индукционный переход доказан. Значит, равенство из условия выполняется для любых натуральных чисел.

$■$