Задача 435 — Демидович

$\frac{x + x + x}{x + 1} = \frac{x + x 1 + \frac{1}{x}}{x 1 + \frac{1}{x}} = = \frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} 1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \dots$

Представим $\frac{1}{x}$ в виде $(\frac{1}{x})^{2}$ :

$\dots = \frac{1 + \frac{1}{x} 1 + \frac{1}{x}}{1 + ( \frac{1}{x} ) ^{2}}$

Теперь найдем предел, пользуясь арифметическими свойствами пределов, пределом степенной функции (П-ссылка), а также многократно применяя теорему о пределе сложной функции (П-ссылка):

$x \to + \infty lim \frac{1 + \frac{1}{x} 1 + \frac{1}{x}}{1 + ( \frac{1}{x} ) ^{2}} = ∣ ∣ y = \frac{1}{x} x \to + \infty lim y (x) = 0 y \to 0 ∣ ∣ = = y \to 0 lim \frac{1 + y 1 + y}{1 + y ^{2}} = \frac{1 + 0 \cdot 1 + 0}{1 + 0 ^{2}} = \frac{1}{1} = 1$

Зависимости

Предел сложной функции

Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.

Предел степенной функции

Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.

434 436