Пример расчетов для $n=3$

Давайте проведем все расчеты для случая $n=3$.

Замечаем, что ширина любого прямоугольника равна $\frac{a}{3}$. Займемся поиском их высот.

Первый прямоугольник берет свое начало в точке $x=0$ или $x=0\cdot \frac{a}{3}$. Но данная нам парабола тоже начинается оттуда же. Поэтому, высота первого прямоугольника тоже равна $0$ или $0\cdot \frac{a}{3}$. Итак, площадь первого прямоугольника:

$$S_1=\frac{a}{3}\cdot f\left(0\cdot \frac{a}{3}\right)=\frac{a}{3}\cdot \frac{b}{a^2}\left(0^2\cdot \frac{a^2}{3^2}\right)=\frac{ab\cdot 0^2}{3\cdot 3^2}$$

Второй берет начало в $x=\frac{a}{3}$. Его высота равна значению функции в этой точке: $f\left(1\cdot \frac{a}{3}\right)$. Итак, площадь второго прямоугольника:

$$S_2=\frac{a}{3}\cdot f\left(1\cdot \frac{a}{3}\right)=\frac{a}{3}\cdot \frac{b}{a^2}\left(1^2\cdot \frac{a^2}{3^2}\right)=\frac{ab\cdot 1^2}{3\cdot 3^2}$$

Наконец, левый нижний угол третьего прямоугольника лежит в $x=2\cdot \frac{a}{3}$. Его высота равна значению функции в этой точке: $f\left(2\cdot \frac{a}{3}\right)$. Итак, площадь второго прямоугольника:

$$S_3=\frac{a}{3}\cdot f\left(2\cdot \frac{a}{3}\right)=\frac{a}{3}\cdot \frac{b}{a^2}\left(2^2\cdot \frac{a^2}{3^2}\right)=\frac{ab\cdot 2^2}{3\cdot 3^2}$$

Значит, площадь криволинейного треугольника $OAM$ при $n=3$ равна:

$$\begin{gathered} S_{OAM}^3=S_1+S_2+S_3=\frac{ab\cdot 0^2}{3\cdot 3^2}+\frac{ab\cdot 1^2}{3\cdot 3^2}+\frac{ab\cdot 2^2}{3\cdot 3^2}= \\ =\frac{ab}{3^3}\left(0^2+1^2+2^2\right) \end{gathered}$$

Нахождение площади

Теперь мы прекрасно понимаем, какой вид формула примет при произвольном $n$:

$$S_{OAM}^n=S_1+S_2+\dots +S_n=\frac{ab}{n^3}\left(1^2+2^2+\dots +(n-1{)}^2\right)$$

Справа видим сумму квадратов первых $n-1$ натуральных чисел. Формулу для этой суммы мы выводили в задаче 2. Воспользуемся ей:

$$S_{OAM}^n=\frac{ab}{n^3}\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$

$$S_{OAM}^n=\frac{ab(n-1)(2n-1)}{6n^2}$$

Найдем теперь точное значение площади, которая равна значению предела $S_{OAM}^n$ при $n\to \infty$. Мы будем пользоваться элементарными пределами последовательностей из П-ссылка:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{OAM}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{ab(n-1)(2n-1)}{6n^2}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2}\cdot \frac{ab\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)}{6}= \\ =\frac{ab(1-0)(2-0)}{6}= \\ =\frac{ab}{3} \end{gathered}$$