Представим все слагаемые в более удобном виде с одинаковыми знаменателями в показателях степени:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{\frac{6}{12}}+x^{\frac{4}{12}}+x^{\frac{3}{12}}}{\sqrt{2x+1}}=\dots$$

Теперь вынесем $x^{\frac{6}{12}}=\sqrt{x}$ из числителя и из знаменателя:

$$\dots =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1+\frac{1}{x^{\frac{2}{12}}}+\frac{1}{x^{\frac{3}{12}}}}{\sqrt{2+\frac{1}{x}}}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь арифметическими свойствами предела, пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27), которой мы воспользуемся в знаменателе:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x^{\frac{2}{12}}}+\frac{1}{x^{\frac{3}{12}}}}{\sqrt{2+\frac{1}{x}}}=\left|\begin{array}{c}y=2+\frac{1}{x}\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }y(x)=2\\ y\to 2\end{array}\right|= \\ =\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\frac{1}{x^{\frac{2}{12}}}+\frac{1}{x^{\frac{3}{12}}}}{\underset{y\to 2}{\lim }\sqrt{y}}=\frac{1+0+0}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$