Избавимся от иррациональности в числителе, а также воспользуемся формулой разности квадратов в знаменателе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}= \\ =\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{(x-3)(x+3)}\cdot \frac{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}= \\ =\frac{x+13-4x-4}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}= \\ =-\frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}= \\ =-\frac{3}{(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь его арифметическими свойствами, пределом степенной функции (П-ссылка), а также многократно применяя теорему о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3}{\lim }-\frac{3}{(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}= \\ =-\frac{3}{\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)\left(\sqrt{\underset{x\to 3}{\lim }(x+13)}+2\sqrt{\underset{x\to 3}{\lim }(x+1)}\right)}= \\ =-\frac{3}{6\cdot (\sqrt{16}+2\sqrt{4})}=-\frac{1}{16} \end{gathered}$$