В числителе избавимся от иррациональности, домножив его на такое выражение, чтобы получить сумму кубов:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}\cdot \frac{{\sqrt[3]{x-6}}^2-2\sqrt[3]{x-6}+4}{{\sqrt[3]{x-6}}^2-2\sqrt[3]{x-6}+4}= \\ =\frac{{\sqrt[3]{x-6}}^3+2^3}{(x^3+8)({\sqrt[3]{x-6}}^2-2\sqrt[3]{x-6}+4)}=\dots \end{gathered}$$

Первую скобку в знаменателе раскроем по формуле суммы кубов:

$$\begin{gathered} \dots =\frac{x+2}{(x+2)(x^2-2x+4)({\sqrt[3]{x-6}}^2-2\sqrt[3]{x-6}+4)}= \\ =\frac{1}{(x^2-2x+4)({\sqrt[3]{x-6}}^2-2\sqrt[3]{x-6}+4)} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, используя его арифметические свойства, предел степенной функции (П-ссылка), а также теорему о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to -2}{\lim }\frac{1}{(x^2-2x+4)({\sqrt[3]{x-6}}^2-2\sqrt[3]{x-6}+4)}= \\ =\frac{1}{\underset{x\to -2}{\lim }(x^2-2x+4)\left({\sqrt[3]{\underset{x\to -2}{\lim }(x-6)}}^2-2\sqrt[3]{\underset{x\to -2}{\lim }(x-6)}+4\right)}= \\ =\frac{1}{(4+4+4)(4+4+4)}=\frac{1}{144} \end{gathered}$$