Избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе. Для числителя воспользуемся формулой разности квадратов. Для знаменателя используем разность кубов.

Начнем с числителя:

$$\begin{gathered} \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}= \\ =\frac{1+x-1+x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \end{gathered}$$

Теперь знаменатель:

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}\cdot \frac{{\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1^2-x^2}+{\sqrt[3]{1-x}}^2}{{\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1^2-x^2}+{\sqrt[3]{1-x}}^2}= \\ =\frac{2x}{{\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1^2-x^2}+{\sqrt[3]{1-x}}^2} \end{gathered}$$

Объединяем результаты вместе и находим предел, используя его арифметические свойства, предел степенной функции (П-ссылка), а также предел сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sqrt[3]{1+x}}^2+\sqrt[3]{1^2-x^2}+{\sqrt[3]{1-x}}^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}= \\ =\frac{{\sqrt[3]{1+0}}^2+\sqrt[3]{1^2-0^2}+{\sqrt[3]{1-0}}^2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}= \\ =\frac{1+1+1}{1+1}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$