С помощью формулы разности кубов избавимся от иррациональности в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}= \\ =\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}\cdot \frac{{\sqrt[3]{27+x}}^2+\sqrt[3]{27^2-x^2}+{\sqrt[3]{27-x}}^2}{{\sqrt[3]{27+x}}^2+\sqrt[3]{27^2-x^2}+{\sqrt[3]{27-x}}^2}= \\ =\frac{2x}{x(1+2\sqrt[3]{x})({\sqrt[3]{27+x}}^2+\sqrt[3]{27^2-x^2}+{\sqrt[3]{27-x}}^2)}= \\ =\frac{2}{(1+2\sqrt[3]{x})({\sqrt[3]{27+x}}^2+\sqrt[3]{27^2-x^2}+{\sqrt[3]{27-x}}^2)} \end{gathered}$$

Теперь найдем значение предела, используя его арифметические свойства, предел степенной функции (П-ссылка), а также теорему о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{(1+2\sqrt[3]{x})({\sqrt[3]{27+x}}^2+\sqrt[3]{27^2-x^2}+{\sqrt[3]{27-x}}^2)}= \\ =\frac{2}{(1+2\cdot 0)({\sqrt[3]{27+0}}^2+\sqrt[3]{27^2-0^2}+{\sqrt[3]{27-0}}^2)}= \\ =\frac{2}{9+9+9}=\frac{2}{27} \end{gathered}$$