Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}= \\ =\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}\cdot \frac{\sqrt[4]{x+9}+2}{\sqrt[4]{x+9}+2}\cdot \frac{\sqrt{x+9}+4}{\sqrt{x+9}+4}= \\ =\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{x-7}(\sqrt[4]{x+9}+2)(\sqrt{x+9}+4) \end{gathered}$$

Две собки в конце нам уже не нужны. Предел их произведения при $x\to 7$ равен $32$. Запомним этот результат и продолжим преобразования уже без скобок.

В этот раз работаем с числителем:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{x-7}=\frac{\sqrt[6]{(x+2{)}^3}-\sqrt[6]{(x+20{)}^2}}{x-7}= \\ =\frac{\sqrt[6]{(x+2{)}^3}-\sqrt[6]{(x+20{)}^2}}{x-7}\cdot \\ \cdot \frac{\sqrt[6]{(x+2{)}^6}+\sqrt[6]{(x+2{)}^3(x+20{)}^2}+\sqrt[6]{(x+20{)}^4}}{\sqrt[6]{(x+2{)}^6}+\sqrt[6]{(x+2{)}^3(x+20{)}^2}+\sqrt[6]{(x+20{)}^4}}= \\ =\frac{\sqrt{(x+2{)}^3}-\sqrt{(x+20{)}^2}}{(x-7)\cdot (\sqrt[6]{(x+2{)}^6}+\sqrt[6]{(x+2{)}^3(x+20{)}^2}+\sqrt[6]{(x+20{)}^4})} \end{gathered}$$

Сразу найдем и запомним предел большой скобки в знаменателе:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 7}{\lim }\sqrt[6]{(x+2{)}^6}+\sqrt[6]{(x+2{)}^3(x+20{)}^2}+\sqrt[6]{(x+20{)}^4}= \\ =7+2+\sqrt[6]{(7+2{)}^3(7+20{)}^2}+\sqrt[6]{(7+20{)}^4}= \\ =27 \end{gathered}$$

Теперь нам в конце рассуждений надо будет не забыть уможнить результат на $\frac{32}{27}$. Продолжим рассуждения. Теперь вновь избавимся от иррациональности в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{(x+2{)}^3}-\sqrt{(x+20{)}^2}}{x-7}= \\ =\frac{\sqrt{(x+2{)}^3}-\sqrt{(x+20{)}^2}}{x-7}\cdot \frac{\sqrt{(x+2{)}^3}+\sqrt{(x+20{)}^2}}{\sqrt{(x+2{)}^3}+\sqrt{(x+20{)}^2}}= \\ =\frac{(x+2{)}^3-(x+20{)}^2}{(x-7)(\sqrt{(x+2{)}^3}+\sqrt{(x+20{)}^2})}=\dots \end{gathered}$$

В числителе имеем многочлен третьей степени. Один из его корней равен $7$. Вынесем этот корень $(x-7)$ из числителя любым способом (например, с помощью деления многочленов уголком):

$$\dots =\frac{x-7}{x-7}\cdot \frac{x^2+12x+56}{\sqrt{(x+2{)}^3}+\sqrt{(x+20{)}^2}}$$

Найдем предел полученного выражения, используя его арифметические свойства, предел многочлена (П-ссылка), предел степенной функции (П-ссылка), а также теорему о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 7}{\lim }\frac{x^2+12x+56}{\sqrt{(x+2{)}^3}+\sqrt{(x+20{)}^2}}= \\ =\frac{7^2+12\cdot 7+56}{54}=\frac{189}{54} \end{gathered}$$

Не забываем, что полученный результат еще нужно умножить на $\frac{32}{27}$:

$$\frac{32}{27}\cdot \frac{189}{54}=\frac{6048}{1458}$$