Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}= \\ =\frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}\cdot \frac{1+\sqrt{1-\frac{x}{2}}}{1+\sqrt{1-\frac{x}{2}}}= \\ =\frac{\left(\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}\right)\cdot 2\left(1+\sqrt{1-\frac{x}{2}}\right)}{x} \end{gathered}$$

Найдем предел второго множителя в числителе:

$$\underset{x\to 0}{\lim }2\left(1+\sqrt{1-\frac{x}{2}}\right)=4$$

Запомним эту четверку. Наш итоговый результат надо будет на нее умножить.

Продолжим преобразования. Сейчас избавимся от иррациональности в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{x}= \\ =\frac{\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}-\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{x}\cdot \frac{\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}= \\ =\frac{\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}-\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{x\left(\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}\right)} \end{gathered}$$

Найдем предел большой скобки в знаменателе:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt[12]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}=2$$

С учетом $4$, которую мы получили ранее, итоговый результат надо будет умножить на $\frac{4}{2}=2$.

Продолжим преобразования. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}-\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{x}= \\ =\frac{\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}-\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{x}\cdot \\ \cdot \frac{\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^8}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^6}}{\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^8}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^6}}= \\ =\frac{\sqrt{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}-\sqrt{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{x\left(\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^8}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^6}\right)} \end{gathered}$$

Найдем предел большой скобки в знаменателе:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^8}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}+\sqrt[6]{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^6}= \\ =3 \end{gathered}$$

С учетом $2$, которую мы получили выше, итоговый результат надо будет умножить на $\frac{2}{3}$.

Продолжим преобразования. Осталось в последний раз избавиться от корней в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}-\sqrt{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{x}= \\ =\frac{\sqrt{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}-\sqrt{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{x}\cdot \frac{\sqrt{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}{\sqrt{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}}= \\ =\frac{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4-{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}{x\left(\sqrt{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}\right)} \end{gathered}$$

Найдем предел большой скобки в знаменателе:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4}+\sqrt{{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}=2$$

С учетом $\frac{2}{3}$, которое мы получили ранее, итоговый результат надо будет умножить на $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$.

Имеем следующую дробь:

$$\frac{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4-{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}{x}$$

Число $0$ является корнем многочлена $4$-ой степени в числителе. Вынесем этот корень $x$ из числителя:

$$\begin{gathered} \frac{{\left(1+\frac{x}{3}\right)}^4-{\left(1+\frac{x}{4}\right)}^3}{x}= \\ =\frac{x}{x}\cdot \frac{64x^3+687x^2+2484x+3024}{5184} \end{gathered}$$

Найдем предел, пользуясь его арифметическими свойствами и пределом многочлена (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{64x^3+687x^2+2484x+3024}{5184}= \\ =\frac{0+0+0+3024}{5184}=\frac{7}{12} \end{gathered}$$

Не забываем еще умножить полученный результат на $\frac{1}{3}$:

$$\frac{7}{12}\cdot \frac{1}{3}=\frac{7}{36}$$