Задача 451 — Демидович

Указание

С помощью формулы бинома Ньютона (5) докажите и используйте в решении следующее равенство:

$a^{5} - b^{5} = (a - b) [(a - b)^{4} + 5 ab (a^{2} - ab + b^{2})]$

Решение

В решении мы воспользуемся следующим равенством:

$a^{5} - b^{5} = (a - b) [(a - b)^{4} + 5 ab (a^{2} - ab + b^{2})]$

Вывод

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, которую мы вывели в задаче 5:

$(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5} (a + b)^{5} = a^{5} + b^{5} + 5 ab (a^{3} + 2 a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}) (a + b)^{5} = a^{5} + b^{5} + 5 ab [a^{3} + b^{3} + 2 ab (a + b)]$

Используем формулу суммы кубов:

$(a + b)^{5} = a^{5} + b^{5} + 5 ab [(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) + 2 ab (a + b)] (a + b)^{5} = a^{5} + b^{5} + 5 ab (a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Изолируем сумму $a^{5} + b^{5}$ :

$a^{5} + b^{5} = (a + b) [(a + b)^{4} - 5 ab (a^{2} + ab + b^{2})]$

Теперь представим, что $b$ — отрицательное число. Вынесем тогда минус в соответствующей степени. Получаем:

$a^{5} - b^{5} = (a - b) [(a - b)^{4} + 5 ab (a^{2} - ab + b^{2})]$

$■$

Введем следующие обозначения:

$a = 5 1 + 5 x b = 1 + x$

С помощью равенства в начале решения избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{x ^{2}}{5 1 + 5 x - ( 1 + x )} = = \frac{x ^{2}}{5 1 + 5 x - ( 1 + x )} \cdot \frac{( a - b ) ^{4} + 5 ab ( a ^{2} - ab + b ^{2} )}{( 5 1 + 5 x - ( 1 + x ) ) ^{4} + \dots} = = \frac{x ^{2}}{( 1 + 5 x ) - ( 1 + x ) ^{5}} \cdot [(a - b)^{4} + 5 ab (a^{2} - ab + b^{2})]$

Заранее найдем предел множителя справа, пользуясь его арифметическими свойствами, пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$∣ ∣ x \to 0 lim a (x) = x \to 0 lim 5 1 + 5 x = 5 1 + 5 \cdot 0 = 1 x \to 0 lim b (x) = x \to 0 lim 1 + x = 1 + 0 = 1 ∣ ∣ x \to 0 lim (a - b)^{4} + 5 ab (a^{2} - ab + b^{2}) = = (1 - 1)^{4} + 5 (1^{2} - 1 + 1^{2}) = 5$

Теперь разберемся с оставшейся частью:

$\frac{x ^{2}}{( 1 + 5 x ) - ( 1 + x ) ^{5}} = = \frac{x ^{2}}{( 1 + 5 x ) - ( x ^{5} + 5 x ^{4} + 10 x ^{3} + 10 x ^{2} + 5 x + 1 )} = = \frac{x ^{2}}{x ^{2} ( - x ^{3} - 5 x ^{2} - 10 x - 10 )} = \frac{1}{- x ^{3} - 5 x ^{2} - 10 x - 10}$

Найдем теперь значение предела, пользуясь пределом многочлена (П-ссылка):

$x \to 0 lim \frac{1}{- x ^{3} - 5 x ^{2} - 10 x - 10} = \frac{1}{0 - 0 - 0 - 10} = - \frac{1}{10}$

Умножаем этот результат на $5$ :

$- \frac{1}{10} \cdot 5 = - \frac{1}{2}$

Зависимости

Задача 5

Предел сложной функции

Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.

Элементарные пределы

Пределы функций, к которым сводятся множество задач.

Предел степенной функции

Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.

450 452