Введем новое обозначение:

$$a=\sqrt[m]{1+P(x)}$$

Получаем следующую дробь:

$$\frac{a-1}{x}$$

Приведем числитель к виду $a^m-1$ с помощью домножения (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \frac{a-1}{x}\cdot \frac{a^{m-1}+a^{m-2}+\dots +a+1}{a^{m-1}+a^{m-2}+\dots +a+1}= \\ =\frac{a^m-1}{x}\cdot \frac{1}{a^{m-1}+a^{m-2}+\dots +a+1} \end{gathered}$$

Сразу найдем предел правой дроби, чтобы не тащить ее за собой. Для нахождения предела воспользуемся его арифметическими свойствами, пределом многочлена (П-ссылка), пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\left|\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }a(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[m]{1+P(x)}=\sqrt[m]{1+0}=1\end{array}\right|$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{a^{m-1}+a^{m-2}+\dots +a+1}= \\ =\frac{1}{1+1+\dots +1}=\frac{1}{m} \end{gathered}$$

Запомним этот результат. Теперь продолжим преобразования:

$$\begin{gathered} \frac{a^m-1}{x}=\frac{P(x)}{x}=\frac{a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n}{x}= \\ =a_1+a_{2}x+a_3{x}^2+\dots +a_n{x}^{n-1} \end{gathered}$$

Найдем предел этого выражения:

$$\underset{x\to 0}{\lim }{a}_1+a_{2}x+\dots +a_n{x}^{n-1}=a_1+0+\dots +0=a_1$$

Теперь не забываем умножить $a_1$ на запомненный ранее результат:

$$a_1\cdot \frac{1}{m}=\frac{a_1}{m}$$

Итак, мы доказали, что

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\frac{a_1}{m}$$

$■$