Разность степеней через произведение

Для доказательства просто найдем, чему равно произведение:

$$\begin{gathered} (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})= \\ =\begin{array}{ccccccc}& a^n& a^{n-1}b& a^2{b}^{n-2}& \dots & a{b}^{n-1}& \\ -& & & & & & \\ & & a^{n-1}b& a^2{b}^{n-2}& \dots & a{b}^{n-1}& b^n\\ & & & & & & \\ & a^n& 0& 0& 0& 0& b^n\end{array}= \\ =a^n-b^n \end{gathered}$$

$■$

Следствие, как нетрудно догадаться, доказывается заменой $b$ на $1$.