Избавимся от иррациональности:

$$\begin{gathered} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}= \\ =\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\cdot \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}= \\ =\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} \end{gathered}$$

Вынесем $x$ в числителе и знаменателе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}= \\ =\frac{\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}+1\right)} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь его арифметическими свойствами, элементарными пределами (П-ссылка), пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}+1}= \\ =\frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+0\cdot \sqrt{1+0}}+1}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$