С помощью формулы разности квадратов избавимся от иррациональности:

$$\begin{gathered} \sqrt{(x+a)(x+b)}-x=\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}= \\ =\frac{x(a+b)+ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}=\frac{x\left(a+b+\frac{ab}{x}\right)}{x\left(\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)\left(1+\frac{b}{x}\right)}+1\right)}= \\ =\frac{a+b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)\left(1+\frac{b}{x}\right)+1}} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь элементарными пределами (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a+b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)\left(1+\frac{b}{x}\right)+1}}= \\ =\frac{a+b+0}{\sqrt{(1+0)(1+0)}+1}=\frac{a+b}{2} \end{gathered}$$