Вынесем $x$ из скобок и избавимся от иррациональности с помощью формулы разности квадратов:

$$\begin{gathered} x^2\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1-2\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}= \\ =\frac{x^2\left[{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}^2-4\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}} \end{gathered}$$

Сразу найдем предел знаменателя, чтобы не тянуть его дальше. Пользоваться будем арифметическими свойствами пределов, элементарными пределами (П-ссылка), пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}= \\ =\sqrt{1+0}+1+2\sqrt{1+0}=4 \end{gathered}$$

Запомним этот результат и вновь займемся числителем:

$$\begin{gathered} x^2\left[{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}^2-4\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]= \\ =x^2\left[1+\frac{2}{x}+2\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1-4-\frac{4}{x}\right]= \\ =2x^2\left[2\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\left(1+\frac{1}{x}\right)\right] \end{gathered}$$

Избавимся от иррациональности во второй раз:

$$\begin{gathered} 2x^2\left[\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]\cdot \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)}= \\ =\frac{2x^2\left[1+\frac{2}{x}-1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right]}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)}= \\ =-\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)} \end{gathered}$$

Предел этого выражения:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }-\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)}= \\ =-\frac{2}{\sqrt{1+0}+1+0}=-1 \end{gathered}$$

Объединяем все вместе и получаем, что

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x)=-\frac{1}{4}$$