Задача 460 — Демидович

$x \to + 0 lim ⎝ ⎛ \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} ⎠ ⎞ = = y \to + \infty lim (y + y + y - y - y + y)$

С помощью формулы разности квадратов избавимся от иррациональности:

$y + y + y - y - y + y = = \frac{2 y + y}{y + y + y + y - y + y} = \dots$

Вынесем из числителя и знаменателя $y$ :

$\dots = \frac{y}{y} \cdot \frac{2 1 + \frac{1}{y}}{1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y} + 1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y}}$

Найдем теперь значение предела, пользуясь его арифметическими свойствами, элементарными пределами (П-ссылка), пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$y \to + \infty lim \frac{2 1 + \frac{1}{y}}{1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y} + 1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y}} = = \frac{2 1 + 0}{1 + 0 \cdot 1 + 0 + 1 + 0 1 + 0} = 1$

Зависимости

Предел сложной функции

Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.

Элементарные пределы

Пределы функций, к которым сводятся множество задач.

Предел степенной функции

Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.

459 461