С помощью формулы разности кубов избавимся от иррациональности:

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1}= \\ =\frac{2x^2}{\sqrt[3]{(x^3+x^2+1{)}^2}+\sqrt[3]{(x^3+x^2+1)(x^3-x^2+1)}+\sqrt[3]{(x^3-x^2+1{)}^2}}=\dots \end{gathered}$$

Вынесем из знаменателя $x^2$:

$$\frac{2}{\sqrt[3]{{\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)}^2}+\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)}+\sqrt[3]{{\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)}^2}}$$

При $x\to \infty$ все дроби с $x$ обращаются в ноль (П-ссылка), поэтому предел всего выражения равен:

$$\frac{2}{\sqrt[3]{(1+0+0{)}^2}+\sqrt[3]{(1+0+0)(1-0+0)}+\sqrt{(1-0+0{)}^2}}$$

Выше мы воспользовались арифметическими свойствами пределов, а также пределом степенной (П-ссылка) и сложной (П-ссылка) функций.

Итак:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right)=\frac{2}{3}$$