460 | Демидович. Решения

Выполним замену переменной:

$y = \frac{1}{x} x \to + 0 lim y (x) = x \to + 0 lim \frac{1}{x} = + \infty y \to + \infty$

Воспользуемся теоремой о пределе сложной функции (П.27):

$x \to + 0 lim ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = = y \to + \infty lim (y + y + y - y - y + y)$

С помощью формулы разности квадратов избавимся от иррациональности:

$y + y + y - y - y + y = = \frac{2 y + y}{y + y + y + y - y + y} = \dots$

Вынесем из числителя и знаменателя $y$ :

$\dots = \frac{y}{y} \cdot \frac{2 1 + \frac{1}{y}}{1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y} + 1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y}}$

Найдем теперь значение предела, пользуясь его арифметическими свойствами, элементарными пределами (П.28), пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):

$y \to + \infty lim \frac{2 1 + \frac{1}{y}}{1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y} + 1 + \frac{1}{y} 1 + \frac{1}{y}} = = \frac{2 1 + 0}{1 + 0 \cdot 1 + 0 + 1 + 0 1 + 0} = 1$