Вынесем $x^n$ из обеих скобок в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^n+{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}^n}{x^n}= \\ =\frac{x^n{\left(1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}^n+x^n{\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}^n}{x^n}= \\ ={\left(1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}^n+{\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}^n \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь его арифметическими свойствами, элементарными пределами (П.28), пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}^n+{\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}^n= \\ ={\left(1-\sqrt{1-0}\right)}^n+(1+\sqrt{1-0}{)}^n= \\ =0^n+2^n=2^n \end{gathered}$$