Заметим, что под корнем степени $n$ имеем $n$ множителей. Из каждого множителя вынесем $x$. Это позволит нам вынести $x$ целиком из всего выражения:

$$\begin{gathered} \sqrt[n]{(x+a_1)\dots (x+a_n)}-x= \\ =\sqrt[n]{x^n\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{a_n}{x}\right)}-x= \\ =x\left[\sqrt[n]{\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{a_n}{x}\right)}-1\right] \end{gathered}$$

Воспользуемся равенством из прото-задачи П-ссылка, чтобы избавиться от иррациональности:

$$\frac{x\left[\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{a_n}{x}\right)-1\right]}{{\left[\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{a_n}{x}\right)\right]}^{\frac{n-1}{n}}+\dots +1}$$

Найдем предел знаменателя, пользуясь арифметическими свойствами предела, элементарными пределами (П-ссылка), пределом степенной функци (П-ссылка) и теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }{\left[\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{a_n}{x}\right)\right]}^{\frac{n-1}{n}}+\dots +1= \\ =[(1+0)\dots (1+0){]}^{\frac{n-1}{n}}+\dots +1=1+\dots +1=n \end{gathered}$$

Запомним этот результат. Теперь разберемся с числителем:

$$x\left[\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\dots \left(1+\frac{a_n}{x}\right)-1\right]=\dots$$

Внутри квадратных скобок имеем произведение $n$ множителей. Нам не нужно раскрывать все произведение целиком. Достаточно только заметить, что в результате мы точно получим $1$, а также $n$ дробей вида $\frac{a_i}{x}$. Все остальные члены будут иметь в знаменателе $x$ в степени от $2$ до $n$:

$$\begin{gathered} \dots =x\left[1+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x}+\dots +\frac{a_n}{x}+\frac{a_1{a}_2}{x^2}+\dots +-1\right]= \\ =a_1+a_2+\dots +a_n+\frac{a_1{a}_2}{x}+\dots \end{gathered}$$

Найдем предел этого выражения:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}_1+a_2+\dots +a_n+\frac{a_1{a}_2}{x}+\dots = \\ =a_1+a_2+\dots +a_n+0+0+\dots = \\ =a_1+a_2+\dots +a_n \end{gathered}$$

Объединяем полученные пределы числителя и знаменателя вместе:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt[n]{(x+a_1)\dots (x+a_n)}-x\right]=\frac{a_1+\dots +a_n}{n}$$