В числителе воспользуемся равенством из прото-задачи П-ссылка:

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^n-{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)}^n}{x}= \\ =\frac{2x\left[{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^{n-1}+{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^{n-2}\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+\dots \right]}{x}= \\ =2\left[{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^{n-1}+{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^{n-2}\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+\dots \right] \end{gathered}$$

Найдем предел каждого слагаемого в квадратных скобках, пользуясь арифметическими свойствами пределов, элементарными пределами (П-ссылка), пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^i{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)}^j= \\ =(\sqrt{1+0^2}+0{)}^i(\sqrt{1+0^2}-0{)}^j=1^i{1}^j=1 \end{gathered}$$

Теперь мы можем найти предел всего большого выражения выше:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }2\left[{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^{n-1}+{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^{n-2}\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+\dots \right]= \\ =2[1+1+\dots ]=2n \end{gathered}$$