$$\underset{x\to 1}{\lim }(1-x)\mathrm{tg}\frac{\pi x}{2}=\dots$$

Заменим переменную с помощью теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка), воспользуемся формулой приведения, а также используем следствие из первого замечательного предела (П-ссылка)

$$\begin{gathered} \dots =\left|\begin{array}{c}y=x-1\\ y\to 0\\ x=y+1\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }-y\mathrm{tg}\left(\frac{\pi y}{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\underset{y\to 0}{\lim }y\mathrm{ctg}\frac{\pi y}{2}= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi y}{2}\right)\frac{\pi }{2}}{\frac{\pi y}{2}}}=\left|\begin{array}{c}u=\frac{\pi y}{2}\\ u\to 0\end{array}\right|=\frac{1}{\frac{2}{\pi }\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}u}{u}}=\frac{2}{\pi } \end{gathered}$$