$$\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\mathrm{tg}2x\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\dots$$

Заменим переменную с помощью теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка), воспользуемся формулами приведения, а также используем следствие из первого замечательного предела (П-ссылка)

$$\begin{gathered} \dots =\left|\begin{array}{c}y=x-\frac{\pi }{4}\\ y\to 0\\ x=y+\frac{\pi }{4}\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }\mathrm{tg}\left(2y+\frac{\pi }{2}\right)\mathrm{tg}\left(-y\right)= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\mathrm{ctg}(2y)\mathrm{tg}(y)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{\mathrm{tg}(2y)}{2y}2y}\cdot \frac{\mathrm{tg}(y)y}{y}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$