Тригонометрические пределы

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{x}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$$

$$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin mx}{\sin nx}(m\text{ и }n\text{ — целые числа})$$

$$\text{а) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}\text{б) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}\text{в) }\underset{x\to 0}{\lim }x\mathrm{ctg}3x$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{{\sin }^{3}x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x-\sin 3x}{\sin x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\mathrm{tg}2x\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }(1-x)\mathrm{tg}\frac{\pi x}{2}$$

Доказать равенства:

$$\begin{gathered} \text{а) }\sin x=\sin a;\text{б) }\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a \\ \text{в) }\underset{x\to a}{\lim }\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}a\left(a\ne \frac{2n-1}{2}\pi ;n=0,\pm 1,\pm 2,\dots \right) \end{gathered}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin x-\sin a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\cos x-\cos a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{ctg}x-\mathrm{ctg}a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sec x-\sec a}{x-a}$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\mathrm{cosec}x-\mathrm{cosec}a}{x-a}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (a+2x)-2\sin (a+x)+\sin a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (a+2x)-2\cos (a+x)+\cos a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}(a+2x)-2\mathrm{tg}(a+x)+\mathrm{tg}a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{ctg}(a+2x)-2\mathrm{ctg}(a+x)+\mathrm{ctg}a}{x^2}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (a+x)\sin (a+2x)-{\sin }^{2}a}{x}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\lim }\frac{2{\sin }^{2}x+\sin x-1}{2{\sin }^{2}x-3\sin x+1}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\cos 2x\cos 3x}{1-\cos x}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\lim }\frac{\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)}{1-2\cos x}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\lim }\frac{{\mathrm{tg}}^{3}x-3\mathrm{tg}x}{\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}(a+x)\mathrm{tg}(a-x)-{\mathrm{tg}}^{2}a}{x^2}$$

$$\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\frac{1-{\mathrm{ctg}}^{3}x}{2-\mathrm{ctg}x-{\mathrm{ctg}}^{3}x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\mathrm{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{{\sin }^{2}x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos (\sqrt{x})}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$$