Демидович
6

Доказать неравенство Бернулли:

где — числа одного и того же знака, большие .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказывать надо по методу математической индукции.

В индукционном переходе домножить обе части неравенства на и преобразовать его правую часть.

Усилить преобразованную правую часть неравенства, отбросив лишние положительные члены.

Решение

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть . Получаем:

Индукционный переход

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что неравенство выполняется и для . Так как (по условию), то можно спокойно домножить неравенство выше на положительную скобку :

Займемся правой частью неравенства. Перемножим скобки:

Попарные произведения вида всегда больше , так как по условию все (включая ) одного знака. Это значит, что вся правая скобка с произведениями больше или равна . Поэтому, для усиления неравенства, ее можно отбросить:

Объединим этот результат с доказываемым неравенством:

Убираем уже ненужные звенья цепочки неравенств и оставляем главное:

Индукционный переход доказан. Это означает, что неравенство Бернулли выполняется для любых натуральных .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Вопросы
Доказательство через деление
Nicat Ceferquliyev

Сразу запишем неравенство, которое нужно доказать в идукционном переходе:

Можно усилить неравенство, воспользовавшись индукционным предположением для всех скобок (кроме последней) в левой части:

Теперь докажем, что:

Делим обе части неравенства на :

Вычтем из обеих частей и разделим на :

Это неравенство якобы выполняется, так как любой , поэтому выполняется и предыдущее неравенство.

То есть, мы доказали верность цепочки неравенств:

Индукционный переход доказан, а вместе с ним и неравенство Бернулли!


Ошибка в рассуждениях возникает в момент, когда мы решили поделить обе части неравенства на . Этого делать нельзя из-за возможного деления на или отрицательное число.

Например, пусть:

При этом, мы доказываем индукционный переход от неравенства с и к неравенству со всеми тремя . Тогда нам придется поделить обе части неравенства на , то есть на .

В случае со следующим набором будет деление на отрицательное число, из-за чего знак неравенства сменится на противоположный: