Доказать неравенство Бернулли:
где — числа одного и того же знака, большие .
Доказать неравенство Бернулли:
где — числа одного и того же знака, большие .
Доказывать надо по методу математической индукции.
В индукционном переходе домножить обе части неравенства на и преобразовать его правую часть.
Усилить преобразованную правую часть неравенства, отбросив лишние положительные члены.
Докажем по методу математической индукции.
Пусть . Получаем:
Предположим, что неравенство выполняется для некоторого натурального :
Докажем, что неравенство выполняется и для . Так как (по условию), то можно спокойно домножить неравенство выше на положительную скобку :
Займемся правой частью неравенства. Перемножим скобки:
Попарные произведения вида всегда больше , так как по условию все (включая ) одного знака. Это значит, что вся правая скобка с произведениями больше или равна . Поэтому, для усиления неравенства, ее можно отбросить:
Объединим этот результат с доказываемым неравенством:
Убираем уже ненужные звенья цепочки неравенств и оставляем главное:
Индукционный переход доказан. Это означает, что неравенство Бернулли выполняется для любых натуральных .
Сразу запишем неравенство, которое нужно доказать в идукционном переходе:
Можно усилить неравенство, воспользовавшись индукционным предположением для всех скобок (кроме последней) в левой части:
Теперь докажем, что:
Делим обе части неравенства на :
Вычтем из обеих частей и разделим на :
Это неравенство якобы выполняется, так как любой , поэтому выполняется и предыдущее неравенство.
То есть, мы доказали верность цепочки неравенств:
Индукционный переход доказан, а вместе с ним и неравенство Бернулли!
Ошибка в рассуждениях возникает в момент, когда мы решили поделить обе части неравенства на . Этого делать нельзя из-за возможного деления на или отрицательное число.
Например, пусть:
При этом, мы доказываем индукционный переход от неравенства с и к неравенству со всеми тремя . Тогда нам придется поделить обе части неравенства на , то есть на .
В случае со следующим набором будет деление на отрицательное число, из-за чего знак неравенства сменится на противоположный: