6 | Демидович. Решения

IВведение в анализ

§1Вещественные числа Метод математической индукции

Доказать неравенство Бернулли:

$(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) \dots (1 + x_{n}) ⩾ 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n},$

где $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ — числа одного и того же знака, большие $- 1$ .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!

Указание

Доказывать надо по методу математической индукции.

В индукционном переходе домножить обе части неравенства на $(1 + x_{k + 1})$ и преобразовать его правую часть.

Усилить преобразованную правую часть неравенства, отбросив лишние положительные члены.

Решение

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть $n = 1$ . Получаем:

$1 + x_{1} \geq 1 + x_{1}$

Индукционный переход

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого натурального $k$ :

$(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) \dots (1 + x_{k}) \geq 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k}$

Докажем, что неравенство выполняется и для $k + 1$ . Так как $x_{k + 1} > - 1$ (по условию), то можно спокойно домножить неравенство выше на положительную скобку $(1 + x_{k + 1})$ :

$(1 + x_{1}) \dots (1 + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq (1 + x_{1} + \dots + x_{k}) (1 + x_{k + 1})$

Займемся правой частью неравенства. Перемножим скобки:

$(1 + x_{1} + \dots + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) = = (1 + x_{1} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}) + (x_{k + 1} x_{1} + x_{k + 1} x_{2} + \dots + x_{k + 1} x_{k})$

Попарные произведения вида $x_{k + 1} x_{i}$ всегда больше $0$ , так как по условию все $x_{i}$ (включая $x_{k + 1}$ ) одного знака. Это значит, что вся правая скобка с произведениями больше или равна $0$ . Поэтому, для усиления неравенства, ее можно отбросить:

$(1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}) + (x_{k + 1} x_{1} + x_{k_{1}} x_{2} + \dots) \geq \geq 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}$

Объединим этот результат с доказываемым неравенством:

$(1 + x_{1}) \dots (1 + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq (1 + x_{1} + \dots + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) = = (1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}) + (x_{k + 1} x_{1} + x_{k_{1}} x_{2} + \dots) \geq \geq 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}$

Убираем уже ненужные звенья цепочки неравенств и оставляем главное:

$(1 + x_{1}) \dots (1 + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}$

Индукционный переход доказан. Это означает, что неравенство Бернулли выполняется для любых натуральных $n$ .

$■$

Не разобрались?

Спросить

Все поняли?

Поддержать

Вопросы

Nicat Ceferquliyev

Сразу запишем неравенство, которое нужно доказать в идукционном переходе:

$(1 + x_{1}) \dots (1 + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq 1 + x_{1} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}$

Можно усилить неравенство, воспользовавшись индукционным предположением для всех скобок (кроме последней) в левой части:

$(1 + x_{1}) \dots (1 + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq (1 + x_{1} + \dots + x_{k}) (1 + x_{k + 1})$

Теперь докажем, что:

$(1 + x_{1} + \dots + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq 1 + x_{1} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}$

Делим обе части неравенства на $1 + x_{1} + \dots + x_{k}$ :

$1 + x_{k + 1} \geq 1 + \frac{x _{k + 1}}{1 + x _{1} + \dots + x _{k}}$

Вычтем из обеих частей $1$ и разделим на $x_{k + 1}$ :

$1 \geq \frac{1}{1 + x _{1} + \dots + x _{k}}$

Это неравенство якобы выполняется, так как любой $x_{i} > - 1$ , поэтому выполняется и предыдущее неравенство.

То есть, мы доказали верность цепочки неравенств:

$(1 + x_{1}) \dots (1 + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq (1 + x_{1} + \dots + x_{k}) (1 + x_{k + 1}) \geq \geq 1 + x_{1} + \dots + x_{k} + x_{k + 1}$

Индукционный переход доказан, а вместе с ним и неравенство Бернулли!

Ошибка в рассуждениях возникает в момент, когда мы решили поделить обе части неравенства на $1 + x_{1} + \dots + x_{k}$ . Этого делать нельзя из-за возможного деления на $0$ или отрицательное число.

Например, пусть:

$x_{1} = - 0.5, x_{2} = - 0.5, x_{3} = - 0.1$

При этом, мы доказываем индукционный переход от неравенства с $x_{1}$ и $x_{2}$ к неравенству со всеми тремя $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Тогда нам придется поделить обе части неравенства на $1 + x_{1} + x_{2}$ , то есть на $1 - 0.5 - 0.5 = 0$ .

В случае со следующим набором будет деление на отрицательное число, из-за чего знак неравенства сменится на противоположный:

$x_{1} = - 0.9, x_{2} = - 0.8, x_{3} = - 0.1$

5 7