Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть $n=1$. Получаем:

$$1+x_1\ge 1+x_1$$

Индукционный переход

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого натурального $k$:

$$(1+x_1)(1+x_2)\dots (1+x_k)\ge 1+x_1+x_2+\dots +x_k$$

Докажем, что неравенство выполняется и для $k+1$. Так как $x_{k+1}>-1$ (по условию), то можно спокойно домножить неравенство выше на положительную скобку $(1+x_{k+1})$:

$$(1+x_1)\dots (1+x_k)(1+x_{k+1})\ge (1+x_1+\dots +x_k)(1+x_{k+1})$$

Займемся правой частью неравенства. Перемножим скобки:

$$\begin{gathered} (1+x_1+\dots +x_k)(1+x_{k+1})= \\ =(1+x_1+\dots +x_k+x_{k+1})+(x_{k+1}{x}_1+x_{k+1}{x}_2+\dots +x_{k+1}{x}_k) \end{gathered}$$

Попарные произведения вида $x_{k+1}{x}_i$ всегда больше $0$, так как по условию все $x_i$ (включая $x_{k+1}$) одного знака. Это значит, что вся правая скобка с произведениями больше или равна $0$. Поэтому, для усиления неравенства, ее можно отбросить:

$$\begin{gathered} (1+x_1+x_2+\dots +x_k+x_{k+1})+(x_{k+1}{x}_1+x_{k_1}{x}_2+\dots )\ge \\ \ge 1+x_1+x_2+\dots +x_k+x_{k+1} \end{gathered}$$

Объединим этот результат с доказываемым неравенством:

$$\begin{gathered} (1+x_1)\dots (1+x_k)(1+x_{k+1})\ge (1+x_1+\dots +x_k)(1+x_{k+1})= \\ =(1+x_1+x_2+\dots +x_k+x_{k+1})+(x_{k+1}{x}_1+x_{k_1}{x}_2+\dots )\ge \\ \ge 1+x_1+x_2+\dots +x_k+x_{k+1} \end{gathered}$$

Убираем уже ненужные звенья цепочки неравенств и оставляем главное:

$$(1+x_1)\dots (1+x_k)(1+x_{k+1})\ge 1+x_1+x_2+\dots +x_k+x_{k+1}$$

Индукционный переход доказан. Это означает, что неравенство Бернулли выполняется для любых натуральных $n$.

$■$