Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 6
Нормальная

Доказать неравенство Бернулли:

где — числа одного и того же знака, большие .

Указание

Доказывать надо по методу математической индукции.

В индукционном переходе домножить обе части неравенства на и преобразовать его правую часть.

Усилить преобразованную правую часть неравенства, отбросив лишние положительные члены.

Решение

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть . Получаем:

Индукционный переход

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого натурального :

Докажем, что неравенство выполняется и для . Так как (по условию), то можно спокойно домножить неравенство выше на положительную скобку :

Займемся правой частью неравенства. Перемножим скобки:

Попарные произведения вида всегда больше , так как по условию все (включая ) одного знака. Это значит, что вся правая скобка с произведениями больше или равна . Поэтому, для усиления неравенства, ее можно отбросить:

Объединим этот результат с доказываемым неравенством:

Убираем уже ненужные звенья цепочки неравенств и оставляем главное:

Индукционный переход доказан. Это означает, что неравенство Бернулли выполняется для любых натуральных .