Доказательство неравенства

В задаче 6 доказывалась общая форма неравенства Бернулли:

$$(1+x_1)(1+x_2)\dots (1+x_n)\ge 1+x_1+x_2+\dots +x_n,$$

где $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — числа одного и того же знака, большие $-1$.

Неравенство, которое нам нужно доказать в этой задаче, является частным случаем этой общей формы, при которой $x=x_1=x_2\dots$:

$$(1+x{)}^n=(1+x)(1+x)\dots \ge 1+x+x+\dots =1+nx$$

Случаи равенства

Рассмотрим теперь, при каких $x$ неравенство переходит в равенство.

Если $n=1$, то сразу получаем равенство при любых $x$:

$$(1+x{)}^1=1+x$$

Поэтому, будем искать равенство при условии $n>1$.

Подставив $x=0$ в неравенство получаем очевидное равенство:

$$1^n=1$$

Итак, $0$ при любом $n$ дает равенство. Докажем теперь, что никакой другой $x$ не даст равенство.

Предположим, что существует некое число $t\ne 0$, которое тоже обращает наше неравенство в равенство:

$$(1+t{)}^n=1+nt$$

Разобьем левую часть на два множителя:

$$(1+t{)}^n=(1+t{)}^{n-1}(1+t)$$

Так как $(1+t)\ge 0$, то для множителя $(1+t{)}^{n-1}$ воспользуемся уже доказанным неравенством:

$$(1+t{)}^{n-1}(1+t)\ge (1+(n-1)t)(1+t)$$

Умножим скобки друг на друга в правой части:

$$(1+t{)}^{n-1}(1+t)\ge 1+nt+(n-1)t^2$$

В итоге, с учетом нашего предположения о том, что $t$ превращает неравенство в равенство, получаем следующее:

$$(1+t{)}^{n-1}(1+t)=(1+t{)}^n=1+nt\ge 1+nt+(n-1)t^2$$

Из обеих частей неравенства вычитаем $1+nt$:

$$0\ge (n-1)t^2$$

Это неравенство не может быть истинным, так как $(n-1)>0$ и $t^2>0$. Произведение таких чисел тоже будет строго положительным числом.

Получили противоречие, а значит не существует такого $t$, отличного от $0$, которое обращало бы неравенство в равенство $n>1$.

$■$

Несмотря на то, что в условии указано $x>-1$ и $n>1$ мы докажем более общий вариант неравенства для $x\ge -1$ и всех натуральных $n$, включая $1$.

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть $n=1$. Получаем:

$$(1+x{)}^1=1+x$$

Индукционный переход

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального числа $k$:

$$(1+x{)}^k\ge 1+kx$$

Докажем, что оно выполняется и для $k+1$. Так как по условию $x\ge -1$, то $(1+x)\ge 0$. Это значит, что можно без изменения знака домножить неравенство выше на $(1+x)$:

$$(1+x{)}^{k+1}\ge (1+kx)(1+x)$$

Рассмотрим отдельно правую часть этого неравенства.

$$(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+k{x}^2$$

Так как $k{x}^2>0$, то можно отбросить это слагаемое:

Сразу стоит обратить внимание, что это неравенство обращается в равенство только при $x=0$. При любом другом $x$ положительное слагаемое $k{x}^2$ будет больше $0$. Другими словами, при любом $x\ne 0$ левая часть будет строго больше правой.

Итак, мы закончили преобразование правой части. В результате имеем:

$$(1+x{)}^{k+1}\ge \underset{\text{равенство только при }x=0}{\underbrace{1+(k+1)x+k{x}^2\ge 1+(k+1)x}}$$

Опускаем центральную часть и оставляем главное:

$$(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x$$

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что указанное в условии неравенство выполняется для любых натуральных $n$.

$■$

Случай равенства

Рассмотрим теперь, при каких $x$ неравенство в условии переходит в равенство.

Уже в доказательстве самого неравенства мы показали, что равенство получается только при $x=0$.

Но есть еще один вариант.

Если $n=1$, то сразу получаем равенство при любых $x$:

$$(1+x{)}^1=1+x$$

Итак, неравенство обращается в равенство только в двух случаях:

1. $n=1$, любой $x$
2. $x=0$