Монотонность

Выясним, возрастает или убывает $x_n$:

$$x_{n+1}\text{ ? }{x}_n$$

$$\frac{10\cdot 11\dots (n+9)(n+10)}{1\cdot 3\dots (2n-1)(2n+1)}\text{ ? }\frac{10\cdot 11\cdot \dots (n+9)}{1\cdot 3\dots (2n-1)}$$

$$\frac{n+10}{2n+1}\text{ ? }1$$

$$n+10\text{ ? }2n+1$$

$$9\text{ ? }n$$

Итак, для $n\le 9$ последовательность $x_n$ возрастает (так как в этом случае $9>n$), а начиная с $n>9$ $x_n$ убывает.

Будем рассматривать последовательность $y_n$, которая равна $x_n$, но с отброшенными первыми $9$ членами.

Значит $y_n$ — убывающая последовательность.

Ограничение снизу

Последовательность $x_n$, а значит и $y_n$ состоит из строго положительных чисел. Значит:

$$y_n>0$$

Значит, $y_n$ ограничена снизу.

Мы показали, что $y_n$ убывает и ограничена снизу. Значит, $y_n$ сходится.

По протозадаче П.16 раз $y_n$ сходится, то и $x_n$ сходится, так как $y_n$ получена из $x_n$ путем отбрасывания первых $9$ элементов.

$■$