Демидович
78

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Монотонность

Выясните, возрастает или убывает , сравнив и .

Ограничение снизу

Последовательность ограничена снизу .

Решение

Монотонность

Выясним, возрастает или убывает :

Итак, для последовательность возрастает (так как в этом случае ), а начиная с убывает.

Будем рассматривать последовательность , которая равна , но с отброшенными первыми членами.

Значит — убывающая последовательность.

Ограничение снизу

Последовательность , а значит и состоит из строго положительных чисел. Значит:

Значит, ограничена снизу.


Мы показали, что убывает и ограничена снизу. Значит, сходится.

По протозадаче П.16 раз сходится, то и сходится, так как получена из путем отбрасывания первых элементов.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.