Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
78
Указание
Монотонность
Выясните, возрастает или убывает , сравнив и .
Ограничение снизу
Последовательность ограничена снизу .
Решение
Монотонность
Выясним, возрастает или убывает :
Итак, для последовательность возрастает (так как в этом случае ), а начиная с убывает.
Будем рассматривать последовательность , которая равна , но с отброшенными первыми членами.
Значит — убывающая последовательность.
Ограничение снизу
Последовательность , а значит и состоит из строго положительных чисел. Значит:
Значит, ограничена снизу.
Мы показали, что убывает и ограничена снизу. Значит, сходится.
По протозадаче П.16 раз сходится, то и сходится, так как получена из путем отбрасывания первых элементов.
Не разобрались?
СпроситьВсе поняли?
ПоддержатьПрото-задачи
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.