Итак, нам нужно показать, что

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,p>0:|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Рассмотрим последнее неравенство:

$$\left|\frac{\cos 1!}{1\cdot 2}+\dots +\frac{\cos (n+p)!}{(n+p)(n+p+1)}-\left(\frac{\cos 1!}{1\cdot 2}+\dots +\frac{\cos n!}{n(n+1)}\right)\right|<\epsilon$$

$$\left|\frac{\cos (n+1)!}{(n+1)(n+2)}+\dots +\frac{\cos (n+p)!}{(n+p)(n+p+1)}\right|<\epsilon$$

По определению, $\cos a\le 1$, поэтому все косинусы можно заменить на $1$, усилив неравенство:

$$\begin{array}{rl}& \left|\frac{\cos (n+1)!}{(n+1)(n+2)}+\dots +\frac{\cos (n+p)!}{(n+p)(n+p+1)}\right|\le \\ \le & \left|\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\dots +\frac{1}{(n+p)(n+p+1)}\right|<\epsilon \end{array}$$

Далее будем работать с усиленным неравенством. Найденное для него $N$ будет по цепному неравенству работать и с исходным нервенством.

$$\left|\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\dots +\frac{1}{(n+p)(n+p+1)}\right|<\epsilon$$

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним всегда больше $0$:

$$\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\dots +\frac{1}{(n+p)(n+p+1)}<\epsilon$$

Докажем следующее свойство:

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

В правой части приведем разность к общему знаменателю:

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$$

Теперь заложим на разность каждую дробь из неравенства выше:

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\dots -\frac{1}{n+p}+\frac{1}{n+p}-\frac{1}{n+p+1}<\epsilon$$

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+p+1}<\epsilon$$

Усилим неравенство, избавившись от разности:

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+p+1}<\frac{1}{n+1}<\epsilon$$

$$\frac{1}{n+1}<\epsilon$$

Еще больше усилим неравенство, уменьшив знамнатель до $n$:

$$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\epsilon$$

$$\frac{1}{n}<\epsilon$$

Изолируем $n$:

$$n>\frac{1}{\epsilon }$$

Итак, для любого $\epsilon >0$ нам достаточно взять $N$ по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$$

Тогда, какое-бы $n>N$ мы не взяли,

$$n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil \ge \frac{1}{\epsilon }$$

А раз такое произвольное $n$

$$n>\frac{1}{\epsilon }$$

то, «возвращаясь» по длинной цепочке цепного неравенства мы приходим к тому, что для произвольного $p$:

$$|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Мы доказали, что последовательность $x_n$ является фундаментальной, а значит она сходится.

$■$