Критерий Коши

$x_n=a_0+a_{1}q+\dots +a_n{q}^n$, где

$$|a_k|<M(k=0,1,2,\dots )\text{ и }|q|<1$$

$$x_n=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^2}+\dots +\frac{\sin n}{2^n}$$

$$x_n=\frac{\cos 1!}{1\cdot 2}+\frac{\cos 2!}{2\cdot 3}+\dots +\frac{\cos n!}{n(n+1)}$$

$$x_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$$

Говорят, что последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ имеет ограниченное изменение, если существует число $C$ такое, что

$$|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\dots +|x_n-x_{n-1}|<C(n=2,3,\dots )$$

Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.

Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

$$x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}$$