Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 84
Нормальная
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:

Решение

Итак, нам нужно показать, что

Рассмотрим последнее неравенство:

По определению, , поэтому все косинусы можно заменить на , усилив неравенство:

Далее будем работать с усиленным неравенством. Найденное для него будет по цепному неравенству работать и с исходным нервенством.

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним всегда больше :

Докажем следующее свойство:

В правой части приведем разность к общему знаменателю:

Теперь заложим на разность каждую дробь из неравенства выше:

Усилим неравенство, избавившись от разности:

Еще больше усилим неравенство, уменьшив знамнатель до :

Изолируем :

Итак, для любого нам достаточно взять по следующей формуле:

Тогда, какое-бы мы не взяли,

А раз такое произвольное

то, «возвращаясь» по длинной цепочке цепного неравенства мы приходим к тому, что для произвольного :

Мы доказали, что последовательность является фундаментальной, а значит она сходится.