Рассмотрим последовательность $y_n$ отношений соседних элементов $x_n$:

$$\begin{gathered} y_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+1{)}^2}{n^2}\cdot \frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n^2+2n+1}{n^2}= \\ =\frac{1}{2}\cdot \left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right) \end{gathered}$$

Замечаем, что $n$ имеются только в знаменателях, а значит, при увеличении $n$ сами дроби уменьшаются. Значит, $y_n$ строго убывает.

Кроме того, уже при $n=3$

$$y_3=\frac{1}{2}\cdot \left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{9}{9}+\frac{6}{9}+\frac{1}{9}\right)=\frac{8}{9}<1$$

Это означает, при $n\ge 3$ последовательность $y_n$ всегда будет меньше $1$, то есть последовательность $x_n$ будет строго убывать.

Значит, максимальное значение последовательность $x_n$ надо искать среди первых трех ее членов:

$$x_1=\frac{1}{2}{x}_2=1x_3=\frac{9}{8}$$

Итак, наибольший член последовательности $x_n$:

$$x_3=\frac{9}{8}$$