Сечение Дедекинда

Пусть $c$ — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и $A/B$ — сечение, определяющее вещественное число $\sqrt{c}$, где в класс $B$ входят все положительные рациональные числа $b$ такие, что $b^2>c$, а в классе $A$ — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе $A$ нет наибольшего числа, а в классе $B$ нет наименьшего числа.

Сечение $A/B$, определяющее число $\sqrt[3]{2}$, строится следующим образом: класс $A$ содержит все рациональные числа $a$ такие, что $a^3<2$; класс $B$ содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе $A$ нет наибольшего числа, а в классе $B$ — наименьшего.

Построив соответствующие сечения, доказать равенства:

$$\text{а) }\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{18};\text{б) }\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$$

Построить сечение, определяющее число $2^{\sqrt{2}}$.