Определение предела

Пусть

$$x_n=\frac{n}{n+1}(n=1,2,\dots ).$$

Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1,$$

определив для каждого $\epsilon >0$ число $N=N(\epsilon )$ такое, что

$$|x_n-1|<\epsilon \text{, если }n>N.$$

Заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{cccccc}\epsilon & 0.1& 0.01& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& & & & & \end{array}$$

Доказать, что $x_n(n=1,2,\dots )$ есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный $0$), указав для всякого $\epsilon >0$ число $N=N(\epsilon )$, такое, что $|x_n|<\epsilon$ при $n>N$, если:

$$\begin{array}{ll}\text{а) }{x}_n=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n};& \text{б) }{x}_n=\frac{2n}{n^3+1};\\ \text{в) }{x}_n=\frac{1}{n!};& \text{г) }{x}_n=(-1{)}^n\cdot 0.999^n.\end{array}$$

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{ccccc}\epsilon & 0.1& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& & & & \end{array}$$